Цаг хугацааны аялал хийх боломжгүйг математикчид баталжээ

quantamagazine

Математик, тоон технологийн хүрээлэнгийн Симуляци, тооцооллын салбарын эрхлэгч Б.Батгэрэлийн бэлтгэсэн цаг хугацаатай холбоотой математикчдийн нээлтийн тухай орчуулгын мэдээллийг хүргэж байна. 

Математикчид молекулууд хэрхэн хий, шингэний нарийн төвөгтэй  хөдөлгөөнийг бий болгодгийг математикийн хувьд баталснаар цаг хугацаа  буцаж урсдаггүй болохыг харуулжээ. 

20-р зууны эхэнд алдарт математикч Давид Гильберт математик сэтгэлгээг физик  ертөнцөд нэвтрүүлэх эрхэм зорилго дэвшүүлжээ. Тэр үеийн физикчид “дулаан гэж  юуг хэлэх вэ”, “молекулууд ямар бүтэцтэй вэ” гэх мэт суурь тодорхойлолтуудын  талаар мэтгэлцэж байсан бөгөөд математикийн хатуу чанга логик нь физикийг  чиглүүлж чадна гэж Гильберт найдаж байв. Тэрээр 1900 оны 8-р сарын 8-ны өдөр  Математикчдын Олон Улсын Конгресст тавьсан илтгэлдээ шийдвэрлэх  шаардлагатай математикийн хорин гурван чухал проблемыг дэвшүүлжээ.  Зургаадугаар проблем нь “Физикийн хуулиудыг найдвартай математик  баталгаагаар хангах” зорилт байв. Гильбертын зургаадугаар проблемын цар хүрээ  үлэмж том байлаа. Тэр бээр “геометрийн нэгэн адилаар физикийн ухааныг  аксиомуудын тусламжтайгаар үндэслэхийг” хүсэж байв. “Физикийг аксиомчлах түүний зорилго үнэнхүү гайхалтай хөтөлбөр байсан. Зургаадугаар проблемын  тавигдсан байдлаас харахад энэ нь хэзээ ч шийдэгдэхээргүй байв” гэж Мэрилэндийн  Их Сургуулийн математикч Дэйв Левермор дүгнэсэн байдаг.

Зураг 1. Германы математикч Давид Гильберт (1862.01.23 - 1943.02.14)

Гэсэн хэдий ч Гильберт эхлэлийг  нь тавьсан юм. Хий, шингэний янз  бүрийн шинж чанаруудыг  (молекулуудын хурд эсвэл  дундаж температур гэх мэт)  судлахын тулд физикчид өөр өөр  тэгшитгэлүүдийг ашигладаг.  Тухайлбал, хий, шингэний  молекулуудын хөдөлгөөнийг  тодорхойлоход нэг төрлийн  тэгшитгэлүүдийг, харин түүнийг  бүхэлд нь судлахад өөр төрлийн  тэгшитгэлүүдийг ашигладаг.  Физикчид эдгээр янз бүрийн  тэгшитгэлүүдийг тодорхойлж  чадсан боловч батлаагүй байсан  тул “нэг төрлийн тэгшитгэлүүдийг  нөгөөгөөр илэрхийлж болох  эсэхийг”, ө.х. эдгээр нь нэгэн ижил бодит байдлыг загварчлах өөр өөр арга замууд мөн эсэхийг мэдэхийг Гильберт  хүсэж байв. 

125 жилийн турш физикийн энэхүү нэгээхэн хэсгийг ч аксиомчлах нь боломжгүй мэт  санагдаж байв. Математикчид зарим нэгэн ахиц гаргаж, тухайлбал, хийн зан  төлөвийг хугацааны маш бага завсарт эсвэл бусад зохиомол нөхцөлд л хүчинтэй  байх тухай баталгаануудыг гаргасан байна. Гэвч эдгээр нь Гильбертын төсөөлж  байсан үр дүнд хүрэхээргүй байв. 

Эцэст нь математикчдын хүчин чармайлт үр дүнд хүрч хүсэн хүлээсэн баталгааг  хийж чадлаа. Энэхүү баталгаа нь Гильбертын хөтөлбөрт томоохон ахиц дэвшил  болохоос гадна цаг хугацааны буцашгүй байдлын талаарх асуултуудыг хөндсөн юм. “Энэ бол гайхалтай ажил” гэж Вейцманы шинжлэх ухааны хүрээлэнгийн судлаач  Грегори Фалкович дүгнэсэн байна. 

Янз бүрийн түвшинд 

Хийн молекулууд нь хоорондоо харьцангуй хол зайтай тархсан байдаг. Физикийн  ухаанд хийг загварчлах олон аргууд бий. 

Хэрэв хийг маш ойроос буюу “микроскоп түвшинд” харвал тэнд бильярдын  бөөрөнцөг мэт хөдлөх олон тооны молекулууд харагдах бөгөөд тэдгээр нь 350 гаруй  жилийн тэртээ тодорхойлсон Ньютоны хуулиудын дагуу хөдөлнө. Хийн зан төлөвийн  энэхүү загварыг “хатуу бөмбөлгүүдийн систем” гэж нэрлэдэг. 

Одоо бага зэрэг холдож харъя. Энэхүү дундаж буюу “мезоскоп түвшинд” бидний  харааны талбарт хэт олон тооны молекул багтаж тус тусад нь мөшгөх боломжгүй  болно. Хийн молекулуудын энэ зан төлөвийг 19-р зууны сүүлчээр боловсруулсан  Болцьманы тэгшитгэл ашиглан загварчилдаг. Больцманы тэгшитгэл нь хийн  молекулуудын төлөв байдлыг дүрсэлж, өөр өөр байршилд, янз бүрийн хурдтай  хөдөлж буй молекулууд хэчнээн байх боломжтойг хэлж өгдөг. Энэ загвар нь  физикчдэд агаарын хөдөлгөөнийг бага орон зайд, тухайлбал сансрын хөлгийг  хэрхэн тойрон урсахыг, судлах боломжийг олгодог. 

Дахин холдвол хий нь салангид молекулуудаас тогтдог гэдгийг ялгахаа больж нэгэн  тасралтгүй бодис мэт харагдана. Энэхүү “макроскоп түвшинд” хийн зан төлөвийг  Навье-Стоксын тэгшитгэл ашиглан загварчилдаг. 

Физикчид хийн зан төлөвийг тодорхойлох эдгээр гурван өөр загварыг хоорондоо  нийцтэй, ө.х. нэгэн ижил зүйлийг тодорхойлох өөр өөр аргууд гэж үздэг. Гэвч  математикчид үүнийг баталж Гильбертын зургаадугаар проблемыг шийдвэрлэхэд  хувь нэмэр оруулахыг хүсэж байв. Үүний тулд молекулуудын хөдөлгөөний Ньютоны  загвараас Болцьманы статистик тодорхойлолт мөрдөн гарахыг, мөн Болцьманы  тэгшитгэлээс Навье-Стоксын тэгшитгэл гарна гэдгийг тус тус харуулах  шаардлагатай байлаа. Математикчид хоёр дахь алхам буюу мезоскоп загвараас  макроскоп загварт хүрэх боломжтойг олон янзын нөхцөлд баталж чадсан байна.  Гэвч тэд эхний алхмыг шийдвэрлэж чадаагүйгээс логик хэлхээ нь бүрэн бүрдэж  чадахгүй байсаар байлаа. 

Өнөөдөр байдал өөрчлөгдөж Юй Дэнг, Захер Хани болон Сяо Ма нарын  математикчид цуврал өгүүллээрээ микроскоп түвшнээс мезоскоп түвшинд шилжих илүү хэцүү алхмыг тодорхой нэг нөхцөлд баталж анх удаа логик хэлхээг бүрэн  гүйцээж чаджээ. Судалгааны үр дүн болон түүнийг боломжтой болгосон арга зүйг  “парадигмын шилжилт” боллоо хэмээн Брауны Их Сургуулийн математикч Ян Гуо  дүгнэсэн байна. 

Үл хамаарах болохыг тодорхойлсон нь 

Хэрэв “хийн молекулууд бие биесээ үл хамааран хөдөлдөг” хэмээх таамаглал  биелэгдсэн тохиолдолд Ньютоны хөдөлгөөний хуулиас мезоскоп тэгшитгэл бий  болно гэдгийг Болцьман аль хэдийн харуулж чадсан байв. Өөрөөр хэлбэл, тодорхой  нэгэн хос молекулууд хоорондоо олон дахин мөргөлдөх нь маш ховор байх ёстой.  Гэвч Болцьман энэхүү таамаглалыг эцэслэн баталж чадаагүй юм. “Тэр үед энэ  теоремыг батлах арга зүй байгаагүй” гэж Ромын Сапиенцагийн Их Сургуулийн  Сергио Симонелл мэдэгдсэн байна.

Зураг 2. Авсрийн физикч Людвиг  Больцман (1844.02.20 – 1906.09.05)

Чөлөөтэй хөдөлж буй молекулуудын хувьд  тэд мөргөлдөх, дахин мөргөлдөх хязгааргүй  олон боломж бий. "Тэдний хөдлөх боломжт чиглэлүүдийг тоолбол асар хүчтэй тэсрэлт  болсон мэт үлэмж олширно" гэж Левермор  хэлж буй нь дахин мөргөлдөх хувилбаруудын  тоо Больцманд хэрэгтэй байсан шиг ховор  гэдгийг батлахыг “их бэрхшээлтэй” болгодог. 

1975 онд математикч Оскар Ланфорд “зөвхөн  хугацааны маш богино завсарт ийм байж  чадахыг” баталсан (энэ хугацаа хийн анхны төлөвөөс хамаарах ба нүд ирмэхээс ч бага  хугацаа юм гэж Симонелл хэлсэн) байна. Гэвч  түүний баталгаа шалгуурыг давж чадаагүй,  ихэнх бөөмс нэг удаа ч мөргөлдчих боломж  олоогүй байхад дахин мөргөлдөх нь ховор  байна гэдгийг Ланфорд баталж чадаагүй юм. 

Дараагийн хэдэн арван жилд олон  математикч түүний үр дүнг өргөжүүлэхийг  оролдсон ч амжилт олж чадаагүй байна. 2023 оны 11-р сард Чикагогийн Их Сургуулийн Дэнг, Мичиганы Их Сургуулийн Хани нар  баталгааны санааг гаргасан препринтийг нийтэлжээ. Тэд удахгүй гарах өгүүлэлдээ  сүүлийн үр дүндээ тулгуурлан “Ланфордын теоремын урт хугацааны өргөтгөлийг”  судална хэмээн мэдэгджээ. Бусад математикчид энэ мэдэгдэлд юу гэж хариулахаа  мэдэхгүй байв. “Үүнийг боломжтой гэж би бодож байгаагүй” гэж Лондонгийн  Империал Коллежийн Пьер Жермен мэдэгдсэн байна. Тэр үед Дэнг болон Хани нар  долгионы системүүдийг голчлон судалж байсан бөгөөд бөөмсийн системийг судалж  байгаагүй юм. Тиймээс математикчид амласан баталгааг тэсэн ядан хүлээж байв. 

Бөөмс мөргөлдөх үед 

Дэнг, Хани нарын 2023 оны ажил нь долгионы системд микроскоп түвшнээс  мезоскоп түвшин мөрдөн гарах тухай байв. Тэдний өгүүлэл цахимаар нийтлэгдэхээс  ойролцоогоор нэг жилийн өмнө Дэнг эрдэм шинжилгээний нэгэн хурал дээр  Принстоны Их Сургуулийн аспирант Сяо Ма-тай уулзжээ. Тэд Дэнг, Хани нарын  ажлын талаар ярилцаж, тэдгээрийг бөөмсийн системд хэрхэн тохируулж болохыг  хэлэлцсэн байна. Ингэж чадвал Ланфордын үр дүнг илүү урт хугацаанд өргөжүүлж,  бөөмсийн дахин мөргөлдөх нь ховор хэвээр байхыг харуулах боломжтой болно. Энэ  санаа бол Дэнг, Хани нарын хүсэж зүйл тул түүнд хамтран ажиллах санал тавьжээ.  

Зураг 3. Хийн молекулуудыг хайрцагт  хорих арга. Нэг молекул хайрцгийн ханыг  мөргөвөл эсрэг ханаар нь өөр нэг молекул  орж ирнэ.

Тэр гурав өмнө нь математикчдын  хангалттай сайн судалсан нөхцөл болох  Гильбертын зургаадугаар проблемын  мезо-макро алхмыг баталсан нөхцөл дээр  төвлөрчээ. Энэ нь “хийн молекулуудыг  хайрцагт хорих арга” юм. Энэ нөхцөлд  “хийн молекул хайрцгийн ханыг мөргөвөл  эсрэг ханаар нь өөр нэг молекул орж ирнэ” гэж үздэг. 

Гильбертын зургаадугаар проблемыг  шийдвэрлэхэд шаардлагатай микроскоп түвшнээс мезоскоп түвшинд шилжих илүү  бэрхшээлт алхмыг батлахын тулд Дэнг,  Хани, Ма нар долгионы систем дээр  суурилсан арга зүйг бөөмсийн системд  шилжүүлэх ёстой байв. Тэд хамгийн  хялбар нөхцөлөөс эхэлжээ. Тэр нь хийн  молекулууд хязгааргүй орон зайд санамсаргүй байдлаар тархсан байх тохиолдол бөгөөд хайрцагт хоригдсон  молекулууд үргэлж бие биетэйгээ мөргөлддөг бол энэ нөхцөлд бөөмс сарниж  эцэстээ мөргөлдөхгүй болно. “Хязгааргүй орон зайн нөхцөлд бидэнд богино зам  бий,” гэж Дэнг хэлсэн байна. 

Тэд мөргөлдөөний ямар ямар загварууд тохиолдож болохыг, тэдгээрийн магадлал  хэр байхыг бүртгэх хэрэгтэй байв. Дахин мөргөлдөх өндөр хувьтай хувилбаруудыг  хялбархан хасах боломжтой. Энэ нь тэдэнд хязгаарлагдмал боловч асар олон тооны  загваруудыг шинжлэхэд хүргэсэн байна Тэд загвар тус бүрийг тодорхойлсноор  түүний магадлалыг тооцоолох боломжтой болно. Гэвч олон тооны загварт асар олон  бөөмс, тэдгээрийн хоорондын нарийн, шууд бус харилцан үйлчлэлүүд оролцож байсан тул энэ нь боломжгүй мэт санагдаж байв. “Эдгээр мөргөлдөгч бөөмсийн олонлог онцгой нарийн бүтэцтэй байлаа” гэж Дэнг хэлсэн. Онолын хувьд  математикчид эдгээр бөөмс бүрийг нэгэн зэрэг хянаж, шаардлагатай магадлалын  тооцооллыг хийх хэрэгтэй байв. 

Тэдний долгионтой ажилласан туршлага энд хэрэг болжээ. Тэд долгионуудын  нарийн төвөгтэй харилцан үйлчлэлийг илүү энгийн хэсгүүдэд хуваах арга замыг, ө.х.  зөвхөн цөөн тооны долгионтой ажилласнаар илүү нарийн төвөгтэй бүрэн долгионы  загварын магадлалыг тооцоолох арга зүйг боловсруулсан байв. Энэ санаа нь  бөөмсийн системд ч ажиллана гэж тэд найдаж байв. Гэвч бөөмсийн мөргөлдөөний үр дүн нь долгионоос тэс өөр аж. Тухайлбал, бөөмс бие биетэйгээ мөргөлдөхөд олон янзаар ойдог бол долгионууд тэгдэггүй, энэ нь мөргөлдөөний загвар болон түүний  магадлалд ихээхэн нөлөөлдөг. 

Дэнг, Хани, Ма нар стратегиа шинэчлэх шаардлагатай болсон байна. Эхлээд  хамгийн энгийн тохиолдлыг, бөөмс бүр богино хугацаанд цөөхөн мөргөлдөх ба дахин  мөргөлдөхгүй байх тохиолдлыг авч үзэв. Дараа нь урт хугацаа, илүү олон  мөргөлдөөн, дахин мөргөлдөх гэх мэт аажмаар илүү хэцүү тохиолдлууд руу  шилжсэн. 

Энэ бол жинхэнэ ур чадвар шаардсан ажил байлаа. “Анхны оролдлогууд амжилтгүй  байсан ч яваандаа зөн совин аажмаар хөгжсөн” гэж Дэнг хэлсэн байна. Тооцооллын  нарийвчлал алдахгүйгээр нарийн төвөгтэй мөргөлдөөний загваруудыг хялбар  хэсгүүдэд хувааж сурах шаардлагатай байв. “Нэлээн хэдэн сарын ажил болсон. Бид  байнга гацчихна. Бараг л өдөр бүр Zoom хуралдаан хийж асуудлыг хэлэлцдэг байв.  Заримдаа шөнө орой, эсвэл өглөө эрт хуралдана. Манай эхнэр нэлээн бухимдсан  байх, би охиноо унтуулчхаад дараа нь хоёроос гурван цагийн Zoom хуралдаанд  оролдог байв” гэж Хани хэлсэн. 

Эцэстээ 2024 оны хавар гэхэд тэд бүх тохиолдлыг шавхсан гэдэгтээ итгэлтэй болсон байна. Тэр зундаа цахимаар нийтэлсэн баталгаа дахин мөргөлдөх нь маш ховор  болохыг харуулж чаджээ. Тэд хязгааргүй орон зай дахь Болцьманы хийн тэгшитгэл  Ньютоны тэгшитгэлээс мөрдөн гарахыг харуулсан байна. Ингэснээр микроскоп  болон мезоскоп түвшний загваруудыг математикийн хүрээнд нэгтгэж чаджээ. “Энэ  бол гайхалтай ажил, олон жилийн дараа гарч буй чухал амжилт гэж би бодож байна”  хэмээн Принстоны Их Сургуулийн математикч бөгөөд Дэнг, Ма нарын докторын  удирдагч Александр Ионеску дүгнэсэн байна. Одоо тэд “хайрцагт хоригдсон” байх нөхцөл рүү буцаж, эцэстээ Гильбертын  зургаадугаар проблемыг шийдвэрлэхэд бэлэн болжээ. 

Хэлхээ битүүрэв 

Хязгааргүй орон зайн нөхцөлөөс хайрцагт хоригдсон нөхцөл рүү үр дүнгээ  өргөжүүлэхэд урт хугацаа шаардлагагүй байв. “Баталгааны 80 хувь нь хязгааргүй  орон зайн нөхцөлд ижил хэвээр” гэж Дэнг хэлсэн. 

Тэд өмнөх үр дүнгүүд дээрээ тулгуурлан Болцьманы тэгшитгэлийг Навье-Стоксын  тэгшитгэлтэй холбосон шинэ өгүүллээ 2025 оны 3-р сард хэвлүүлэв. Логик хэлхээ бүрэн бүрдэж бөөмсийн хөдөлгөөнд тулгуурласан хийн микроскоп тодорхойлолт нь  эцэстээ макроскоп тодорхойлолтод хүргэдэг болохыг харуулав. Энэ нь Гильбертын  зургаадугаар проблемыг нэгэн чухал тохиолдолд шийдвэрлээд зогсохгүй хуучин  парадоксын математик шийдэл болж чадлаа.

Микроскоп түвшинд бөөмс бильярдын бөмбөг шиг хөдлөх тул цаг хугацааг буцаах  боломжтой гэж үзэж болно. Ньютоны тэгшитгэл бөөмс хаанаас ирсэн, хаашаа явж  байгааг урьдчилан таамаглаж чадна. Ирээдүй өнгөрснөөс тийм ч өөр биш. 

Гэвч мезоскоп болон макроскоп түвшинд цаг хугацааг буцаах боломжгүй. “Цаг  хугацаа урагшлахад хүн хөгширдөг болохоос залууждаггүй; дулаан хүйтэн биетээс  халуун биет рүү өөрөө урсахгүй; усанд дуссан бэхний дусал тархаж шингэний өнгийг өөрчилдөг болохоос анхны дусал хэлбэртээ өөрөө буцаж ирдэггүй” гэж Симонелл хэлж байна. Болцманы тэгшитгэлд ч, Навье-Стоксын тэгшитгэлд ч цаг хугацаа буцашгүй шинжтэй. Хэрвээ та цаг хугацааг буцааж урсгахыг оролдвол үр дүн нь  утгагүй болно. 

Цаг хугацаа буцашгүй тэгшитгэл хэрхэн цаг хугацаа буцаж болох системээс мөрдөн  гарч болох вэ? гэдэг Болцьманы үеийнхний гайхширлыг төрүүлсэн байв. Хэдийгээр бөөмс бүр цаг хугацаа буцаж болох байдлаар загварчлагддаг ч бараг бүх  мөргөлдөөний загвар нь хийн сарнилаар өндөрлөдөг тул энэ бол парадокс биш юм  гэж Болцьман дүгнэдэг байв. 

Ланфорд энэ зөн совинг хугацааны маш богино завсарт математик аргаар баталсан.  Одоо харин Дэнг, Хани, Ма нарын үр дүн илүү бодит нөхцөлд үүнийг баталж байна. Цаашид математикчид энэхүү шинэ баталгааны арга зүйд гүнзгий нэвтэрч ижил  төстэй арга зүйг илүү бодит нөхцөлд хэрэглэж болох эсэхийг шалгах нь дамжиггүй.  Тэд янз бүрийн хэлбэртэй бөөмсөөс тогтох хийн хувьд, эсвэл илүү нарийн харилцан  үйлчлэл бүхий бөөмсийн системд туршиж болох юм. 

Фалковичийн хэлснээр, ийм чанад баталгаанууд физикчдэд “яагаад янз бүрийн  түвшинд хий ийм өөр өөр зан төлөвтэй байдгийг, яагаад өөр өөр загварууд тодорхой  түвшинд сайн, муу үр дүнтэй байдгийг ойлгоход тусалж болох юм” гэжээ. Тэр бээр  мөн “математикчид физикч биднийг сэрээдэг юм” гэж нэмж хэлсэн байна.

Epic Effort to Ground Physics in Math Opens Up the Secrets of Time | Quanta Magazine, By Leila Sloman, June 11, 2025  Орчуулсан: ШУА-ийн Математик, тоон технологийн хүрээлэнгийн эрдэм шинжилгээний  тэргүүлэх ажилтан, доктор Б.Батгэрэл 

Эх сурвалж: 

1. Yu Deng, Zaher Hani, Long time justification of wave turbulence theory, Submitted on 16 Nov 2023
2. Yu Deng, Zaher Hani, Xiao Ma, Long time derivation of the Boltzmann equation from hard sphere  dynamics, Submitted on 14 Aug 2024 
3. Yu Deng, Zaher Hani, Xiao Ma, Hilbert's sixth problem: derivation of fluid equations via Boltzmann's  kinetic theory, Submitted on 3 Mar 2025